(甲)如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1C⊥底面ABC,∠ABC=90°,BC=2,AC=,又AA1⊥A1C,AA1=A1C.
(1)求側(cè)棱A1A與底面ABC所成的角的大;
(2)求側(cè)面A1B與底面所成二面角的大;
(3)求點(diǎn)C到側(cè)面A1B的距離.
(乙)在棱長為a的正方體OABC-O'A'B'C'中,E,F(xiàn)分別是棱AB,BC上的動點(diǎn),且AE=BF.
(1)求證:A'F⊥C'E;
(2)當(dāng)三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時,求二面角B'-EF-B的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示).

【答案】分析:甲(1)由題意畫出圖形由于側(cè)面A1C⊥底面ABC,所以A1A與底面ABC所成的角為∠A1AC,解出即可;
(2)由題意及圖形利用二面角平面角的概念即可求二面教的大;
(3)由題意利用三棱錐的等體積進(jìn)行輪換可得距離.
乙(1)由于幾何體為長方體,利用條件建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點(diǎn)的空間坐標(biāo)利用向量的知識和等體積法求出距離;
(2)利用條件及所給圖形利用二面角的平面角的定義,設(shè)出BF=x,BE=y,則x+y=a,利用均值不等式求出BE,BF的長度,再在三角線中進(jìn)行求解出二面角的大。
解答:(甲)(1)∵側(cè)面A1C⊥底面ABC,∴A1A在平面ABC上的射影是AC、A1A與底面ABC所成的角為∠A1AC.
∵A1A=A1C,A1A⊥A1C,∴∠A1AC=45°.

(2)作A1O⊥AC于O,則A1O⊥平面ABC,再作OE⊥AB于E,連接A1E,則A1E⊥AB,
所以∠A1EO就是側(cè)面A1B與底面ABC所成二面角的平面角.
在Rt△A1EO中,,
.∠A1EO=60°.

(3)設(shè)點(diǎn)C到側(cè)面A1B的距離為x.
,
.(*)
,OE=1,∴
,∴
.∴由(*)式,得.∴x=1

(乙)(1)證明:如圖,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)AE=BF=x,則A'(a,0,a),F(xiàn)(a-x,a,0),C'(0,a,a),E(a,x,0),
=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a).
,
∴A'F⊥C'E.

(2)解:記BF=x,BE=y,則x+y=a,則三棱錐B'-BEF的體積為
當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,因此,三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時,
過B作BD⊥BF交EF于D,連接B'D,則B'D⊥EF.
∴∠B'DB是二面角B'-EF-B的平面角.在Rt△BEF中,直角邊,BD是斜邊上的高,∴
在Rt△B'DB中,tan∠.故二面角B'-EF-B的大小為
點(diǎn)評:甲(1)此問重點(diǎn)考查了面面垂直的性質(zhì)定理及線面角的定義;
(2)此問重點(diǎn)考查了二面角的平面角的概念及在三角形中求解三角形的角的大。
(3)此問重點(diǎn)考查了利用三棱錐的等體積可以進(jìn)行定點(diǎn)輪換求其體積進(jìn)而可以求點(diǎn)到面的距離.
乙(1)此問重點(diǎn)考查了利用長方體的特點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量的知識解決線線垂直的證明;
(2)此問重點(diǎn)考查了利用向量的知識和設(shè)出變量利用均值不等式的求出最值時的線段長度,進(jìn)而求解出二面角的大小,還考查了反三角的知識.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)(甲)如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1C⊥底面ABC,∠ABC=90°,BC=2,AC=2
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,又AA1⊥A1C,AA1=A1C.
(1)求側(cè)棱A1A與底面ABC所成的角的大。
(2)求側(cè)面A1B與底面所成二面角的大;
(3)求點(diǎn)C到側(cè)面A1B的距離.
(乙)在棱長為a的正方體OABC-O'A'B'C'中,E,F(xiàn)分別是棱AB,BC上的動點(diǎn),且AE=BF.
(1)求證:A'F⊥C'E;
(2)當(dāng)三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時,求二面角B'-EF-B的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)表示).

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