Question

（甲）如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面A₁C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=2

3

，又AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成的角的大��；
（2）求側(cè)面A₁B與底面所成二面角的大��；
（3）求點(diǎn)C到側(cè)面A₁B的距離．
（乙）在棱長(zhǎng)為a的正方體OABC-O'A'B'C'中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF．
（1）求證：A'F⊥C'E；
（2）當(dāng)三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角B'-EF-B的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析：甲（1）由題意畫出圖形由于側(cè)面A₁C⊥底面ABC，所以A₁A與底面ABC所成的角為∠A₁AC，解出即可；
（2）由題意及圖形利用二面角平面角的概念即可求二面教的大��；
（3）由題意利用三棱錐的等體積進(jìn)行輪換可得距離．
乙（1）由于幾何體為長(zhǎng)方體，利用條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的空間坐標(biāo)利用向量的知識(shí)和等體積法求出距離；
（2）利用條件及所給圖形利用二面角的平面角的定義，設(shè)出BF=x，BE=y，則x+y=a，利用均值不等式求出BE，BF的長(zhǎng)度，再在三角線中進(jìn)行求解出二面角的大小．

解答：（甲）（1）∵側(cè)面A₁C⊥底面ABC，∴A₁A在平面ABC上的射影是AC、A₁A與底面ABC所成的角為∠A₁AC．
∵A₁A=A₁C，A₁A⊥A₁C，∴∠A₁AC=45°．

（2）作A₁O⊥AC于O，則A₁O⊥平面ABC，再作OE⊥AB于E，連接A₁E，則A₁E⊥AB，
所以∠A₁EO就是側(cè)面A₁B與底面ABC所成二面角的平面角．
在Rt△A₁EO中，A1O=

1

2

AC=

3

，OE=

1

2

BC=1，
∴tan∠A1EO=

A1O

OE

=

3

．∠A₁EO=60°．

（3）設(shè)點(diǎn)C到側(cè)面A₁B的距離為x．
∵VA1-ABC=VC-A1BC，
∴

1

3

•A1O•S△ABC=

1

3

•x•S△A1BC?A1O•S△ABC=x•S△ABC．（*）
∵A1O=

3

，OE=1，∴A1E=

3+1

=2．
又AB=

(2 3 )2-22

=2

2

，∴S△A1AB=

1

2

•2

2

•2=2

2

．
又S△ABC=

1

2

×2×2

2

=2

2

．∴由（*）式，得2

2

=x•2

2

=1．∴x=1

（乙）（1）證明：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AE=BF=x，則A'（a，0，a），F(xiàn)（a-x，a，0），C'（0，a，a），E（a，x，0），
∴

A′F

=（-x，a，-a），

C′E

=（a，x-a，-a）．
∵

A′F

•

C′E

=-xa+a(x-a)+a2=0，
∴A'F⊥C'E．

（2）解：記BF=x，BE=y，則x+y=a，則三棱錐B'-BEF的體積為V=

1

6

xya≤

a

b

(

x+y

2

)2=

1

24

a2．
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

a

2

時(shí)，等號(hào)成立，因此，三棱錐B'-BEF的體積取得最大值時(shí)，BE=BF=

a

2

．
過B作BD⊥BF交EF于D，連接B'D，則B'D⊥EF．
∴∠B'DB是二面角B'-EF-B的平面角．在Rt△BEF中，直角邊BE=BF=

a

2

，BD是斜邊上的高，∴BD=

2

4

在Rt△B'DB中，tan∠B′DB=

B′B

BD

=2

2

．故二面角B'-EF-B的大小為arctan2

2

．

點(diǎn)評(píng)：甲（1）此問重點(diǎn)考查了面面垂直的性質(zhì)定理及線面角的定義；
（2）此問重點(diǎn)考查了二面角的平面角的概念及在三角形中求解三角形的角的大��；
（3）此問重點(diǎn)考查了利用三棱錐的等體積可以進(jìn)行定點(diǎn)輪換求其體積進(jìn)而可以求點(diǎn)到面的距離．
乙（1）此問重點(diǎn)考查了利用長(zhǎng)方體的特點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量的知識(shí)解決線線垂直的證明；
（2）此問重點(diǎn)考查了利用向量的知識(shí)和設(shè)出變量利用均值不等式的求出最值時(shí)的線段長(zhǎng)度，進(jìn)而求解出二面角的大小，還考查了反三角的知識(shí)．