Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分別為A₁B₁、AB的中點．
①求證：平面A₁NC∥平面BMC₁；
②若AB=AA₁，求BM與AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：①由題意可得A₁N∥BM，由線面平行的判定定理可得：A₁N∥平面BMC₁．同理可得：CN∥平面BMC₁．再結合面面平行的判定定理可得面面平行．
②根據(jù)A₁N∥BM，并且AC∥A₁C₁，可得BM與AC所成角等于A₁C₁與A₁N所成的角，即∠NA₁C₁為所求或者與其互補．然后把角放入三角形中利用解三角形的有關知識解決問題即可．

解答：解：①證明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分別為A₁B₁、AB的中點，
所以A₁N∥BM，
因為BM?平面BMC₁，A1N?平面BMC₁，
所以A₁N∥平面BMC₁．
因為M、N分別為A₁B₁、AB的中點，
所以C1M∥CN，
因為C1M?平面BMC₁，CN?平面BMC₁，
所以CN∥平面BMC₁．
又因為CN∩A₁N=N，并且CN?平面A₁NC，A₁N?平面A₁NC
所以平面A₁NC∥平面BMC₁．
②由 ①可得A₁N∥BM，
又因為AC∥A₁C₁，
所以BM與AC所成角等于A₁C₁與A₁N所成的角，
即∠NA₁C₁為所求或者與其互補．
連接C₁N，在△NA₁C₁中，設AB=AA₁=2，所以A₁N=

5

，A₁C₁=2，NC₁=

7

，
所以根據(jù)余弦定理可得：cosNA₁C₁=

5

10

．
所以BM與AC所成角的余弦值

5

10

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，進而得到線面關系與面面關系，以及熟練掌握空間角的求法（步驟是先作角，再證角，然后放入三角形進行求解）．