Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（ax-2）e^x，a∈R，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若a=1，t₁，t₂∈[0，1]時(shí)，證明：f（t₁）-f（t₂）≤e-2．

Answer 1

分析：（I）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0，建立等式關(guān)系，求出a即可；
（II）分別討論a與0的大小，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，使f'（x）＞0成立的是單調(diào)增區(qū)間，使f'（x）＜0成立的是單調(diào)減區(qū)間；
（III）a=1，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f'（x）=（x-1）e^x≤0，則f（x）單調(diào)減函數(shù)，從而f（t₁）-f（t₂）≤f_max（x）-f_min（x）=f（0）-f（1）=e-2，得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由已知f'（x）=（ax+a-2）e^x，f'（1）=0，∴a=1．
（Ⅱ）①當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在R上是減函數(shù)．
②當(dāng)a＞0時(shí)，x＞

2

a

-1時(shí)，f'（x）＞0；x＜

2

a

-1時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)增、減區(qū)間分別是(

2

a

-1，+∞)，(-∞，

2

a

-1)．
③當(dāng)a＜0時(shí)，x＞

2

a

-1時(shí)，f'（x）＜0；x＜

2

a

-1時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)減、增區(qū)間分別是(

2

a

-1，+∞)，(-∞，

2

a

-1)．
（Ⅲ）∵a=1，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f'（x）=（x-1）e^x≤0，
∴f（x）單調(diào)減函數(shù)，
∴f（t₁）-f（t₂）≤f_max（x）-f_min（x）=f（0）-f（1）=e-2．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查函數(shù)的極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查函數(shù)的最值的求解，是一道綜合題．