Question

17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．已知點(diǎn)（2，2e）（e為橢圓E的離心率）在橢圓上，點(diǎn)A₁、B₁分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，從橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線，垂足為焦點(diǎn)F₁，且MF₂∥A₁B₁．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)P為橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，如圖2，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，線段PQ與x軸交于點(diǎn)C，$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DQ}$，若直線AD與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，試判斷直線PA、PB是否互相垂直，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由已知根據(jù)橢圓性質(zhì)列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓的方程．
（2）求出直線AD的方程，代入橢圓的方程，并整理，求出B的坐標(biāo)，證明k_PA•k_PB≠-1，即可得到直線PA、PB不垂直．

解答 解：（1）∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）．
（2，2e）（e為橢圓E的離心率）在橢圓上，點(diǎn)A₁、B₁分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，
從橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線，垂足為焦點(diǎn)F₁，且MF₂∥A₁B₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{4{e}^{2}}{^{2}}=1}\\{\frac{\frac{^{2}}{a}}=\frac{2c}{a}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）PA與PB不垂直．
證明：設(shè)P（x₀，y₀），則A（-x₀，-y₀），D（x₀，-$\frac{{y}_{0}}{3}$），且$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{5}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，
將直線AD的方程y=$\frac{{y}_{0}}{3{x}_{0}}$（x+x₀）-y₀代入橢圓的方程，
并整理得（36x₀²+5${{y}_{0}}^{2}$）x²-20x₀y₀²x+20x₀²y₀²-180x₀²=0，
由題意，可知此方程必有一根-x₀，
x_B=$\frac{20{x}_{0}{{y}_{0}}^{2}}{36{{x}_{0}}^{2}+5{{y}_{0}}^{2}}$+x₀，y_B=$\frac{{y}_{0}}{3{x}_{0}}$（$\frac{20{x}_{0}{{y}_{0}}^{2}}{36{{x}_{0}}^{2}+5{{y}_{0}}^{2}}$+2x₀）-y₀=$\frac{5{{y}_{0}}^{3}-12{{x}_{0}}^{2}{y}_{0}}{36{{x}_{0}}^{2}+5{{y}_{0}}^{2}}$，
∴k_PB=$\frac{\frac{5{{y}_{0}}^{3}-12{{x}_{0}}^{2}{y}_{0}}{36{{x}_{0}}^{2}+5{{y}_{0}}^{2}}-{y}_{0}}{\frac{20{x}_{0}{{y}_{0}}^{2}}{36{{x}_{0}}^{2}+5{{y}_{0}}^{2}}}$=-$\frac{12}{5}•\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
故有k_PA•k_PB=-$\frac{12}{5}$，即PA與PB不垂直．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．