Question

12．已知拋物線W的頂點在原點，且焦點為F（1，0），不經(jīng)過焦點F的直線l與拋物線W相交于A，B兩點，且拋物線W上存在一點C，使得四邊形ACBF為平行四邊形．
（I）求拋物線W的標準方程；
（Ⅱ）求證：直線l恒過定點；
（Ⅲ）求四邊形ACBF面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）由題意可設(shè)拋物線的標準方程為：y²=2px（p＞0），由$\frac{p}{2}$=1，解得p即可得出．
（2）設(shè)A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$，由四邊形ACBF為平行四邊形，可得$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}$，可得$\overrightarrow{OC}$，把點C坐標代入拋物線W方程可得：y₁y₂=-2．直線l的方程為：（y-y₁）（y₁+y₂）=4x-${y}_{1}^{2}$，令y=0，解得x為定值．
（III）設(shè)直線l的方程為：my=x-$\frac{1}{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與拋物線方程聯(lián)立化為：y²-4my-2=0，可得|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$，點F到直線l的距離d=$\frac{1}{2\sqrt{1+{m}^{2}}}$．S_{平行四邊形ACBF}=$2×\frac{1}{2}$d|AB|，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答 （I）解：由題意可設(shè)拋物線的標準方程為：y²=2px（p＞0）．
∵焦點為F（1，0），∴$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．
∴拋物線W的標準方程為y²=4x．
（2）證明：設(shè)A$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$，
$\overrightarrow{FA}$=$（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{FB}$=$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-1，{y}_{2}）$．
∵四邊形ACBF為平行四邊形，
∴$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}$=$（\frac{{y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}}{4}-2，{y}_{1}+{y}_{2}）$，
∴$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OF}$+$（\frac{{y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}}{4}-2，{y}_{1}+{y}_{2}）$=$（\frac{{y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}}{4}-1，{y}_{1}+{y}_{2}）$，
∵點C在拋物線W上，∴$（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}$=4$（\frac{{y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}}{4}-1）$，
化為：y₁y₂=-2．
直線l的方程為：y-y₁=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{4}}$$（x-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}）$，
化為：（y-y₁）（y₁+y₂）=4x-${y}_{1}^{2}$，
令y=0，可得：-y₁y₂=4x，∴2=4x，解得x=$\frac{1}{2}$．
∴直線l經(jīng)過定點$（\frac{1}{2}，0）$．y₁+y₂=0時也成立．
∴直線l恒經(jīng)過定點$（\frac{1}{2}，0）$．
（III）解：設(shè)直線l的方程為：my=x-$\frac{1}{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-\frac{1}{2}}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：y²-4my-2=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-2．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）（16{m}^{2}+8）}$=2$\sqrt{（1+{m}^{2}）[4{m}^{2}+2]}$．
點F到直線l的距離d=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
∴S_{平行四邊形ACBF}=$2×\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{1}{2\sqrt{1+{m}^{2}}}$×2$\sqrt{（1+{m}^{2}）[4{m}^{2}+2]}$=$\sqrt{4{m}^{2}+2}$≥$\sqrt{2}$，當且僅當m=0時取等號．
∴l(xiāng)⊥x軸時，四邊形ACBF面積的最小值為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交弦長問題、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．