Question

2．化簡：$\frac{1}{cosα\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$+$\frac{2tanα}{\sqrt{\frac{1}{cos^{2}α}-1}}$后可能取值的集合中元素的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 $\frac{1}{cosα\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$+$\frac{2tanα}{\sqrt{\frac{1}{cos^{2}α}-1}}$=$\frac{|cosα|}{cosα}$+$\frac{2tanα}{|tanα|}$=f（α），對α所在的象限分類討論即可得出．

解答 解：$\frac{1}{cosα\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$+$\frac{2tanα}{\sqrt{\frac{1}{cos^{2}α}-1}}$=$\frac{|cosα|}{cosα}$+$\frac{2tanα}{|tanα|}$=f（α），
當(dāng)α位于第一象限時(shí)，f（α）=1+2=3．
當(dāng)α位于第二象限時(shí)，f（α）=-1-2=-3．
當(dāng)α位于第三象限時(shí)，f（α）=-1+2=1．
當(dāng)α位于第四象限時(shí)，f（α）=1-2=-1．
∴化簡：$\frac{1}{cosα\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$+$\frac{2tanα}{\sqrt{\frac{1}{cos^{2}α}-1}}$后可能取值的集合為{-3，3，-1，1}中元素的個(gè)數(shù)為4．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角函數(shù)求值，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．