Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，，記.

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當時，若函數(shù)沒有零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）曲線在處的切線方程；（2）當時，函數(shù)的增區(qū)間是，當時，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是；（3）實數(shù)的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）求曲線在處的切線方程，由導數(shù)的幾何意義得，對函數(shù)求導得，既得函數(shù)在處的切線的斜率為，又，得切點，由點斜式可得切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由題意得，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，先確定函數(shù)的定義域為，由于含有對數(shù)函數(shù)，可對函數(shù)求導得，，由于含有參數(shù)，需對討論，分，兩種情況，從而得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當時，若函數(shù)沒有零點，即無解，由（2）可知，當時，函數(shù)的最大值為，只要小于零即可，由此可得的取值范圍．

試題解析：(1)，則函數(shù)在處的切線的斜率為.又，

所以函數(shù)在處的切線方程為,即 4分

（2）， ，（）.

①當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

②當時，令，解得；令，解得.

綜上所述，當時，函數(shù)的增區(qū)間是；

當時，函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是. 9分

（3）依題意，函數(shù)沒有零點，即無解.

由（2）知，當時，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),區(qū)間上為減函數(shù)，

由于，只需，

解得.

所以實數(shù)的取值范圍為. 13分