Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．
（1）若P是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）設(shè)A（2，0），B（0，1）是它的兩個頂點(diǎn)，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知，設(shè)P（x，y），則可得，
，代入向量的數(shù)量積可得=，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求
（2）設(shè)E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），聯(lián)立消去y整理可得（1+4k²）x²=4，解方程可求x₁，x₂
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求，點(diǎn)E，F(xiàn)到直線AB的距離h₁，h₂，代入四邊形AEBF的面積為S=，結(jié)合基本不等式可求面積的最大值
解答：解：（1）由題意可知a=2，b=1，
∵c==
∴，設(shè)P（x，y）
∴，
=x²+y²-3（3分）
==
由橢圓的性質(zhì)可知，-2≤x≤2
∴0≤x²≤4，
∴
故-21（5分）
（2）設(shè)E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），聯(lián)立消去y整理可得（1+4k²）x²=4
∴（7分）
∵A（2，0），B（0，1）
∴直線AB的方程為：x+2y-2=0
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可知，點(diǎn)E，F(xiàn)到直線AB的距離分別為
=（8分）
=
∴（9分）
∴|AB|=
∴四邊形AEBF的面積為S===（10分）

=（當(dāng)且僅當(dāng)4k=即k=時，上式取等號，所以S的最大值為2（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了由橢圓的方程及解橢圓的性質(zhì)，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于直線與圓錐曲線的綜合性試題