Question

已知橢圓9x²+2y²=18上任意一點(diǎn)P，由P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點(diǎn)M在線段PQ上，且，點(diǎn)M的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線l交曲線E于不同的兩點(diǎn)G，H（點(diǎn)G在點(diǎn)F，H之間），且滿足，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是橢圓上一點(diǎn)，則Q（x，0），M（x，y）．由已知得：x=x，y=3y代入橢圓方程即可得到曲線E的方程．
（II）設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），當(dāng)直線GH斜率存在時，設(shè)直線GH的斜率為k．把直線GH的方程y=kx+2與橢圓的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用，即可解出k．當(dāng)直線GH斜率不存在時，不符合題意．
解答：解：（I）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是橢圓上一點(diǎn)，則Q（x，0），M（x，y）
由已知得：x=x，y=3y代入橢圓方程得9x²+18y²=18，
即x²+2y²=2為曲線E的方程．
（II）設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
當(dāng)直線GH斜率存在時，設(shè)直線GH的斜率為k
則直線GH的方程為：y=kx+2，
代入x²+2y²=2，得：（+k²）x²+4kx+3=0，
由△＞0，解得：k²＞，，，
∵，，又有．
∴
．∴
化為，即10k²=27．
解得：，
∴，
∴直線l的方程為：y=x+2，
當(dāng)直線GH斜率不存在時，直線的l方程為x=0，
此時矛盾不合題意．
∴所求直線l的方程為：y=x+2．
點(diǎn)評：熟練掌握直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等、分類討論思想方法等是解題的關(guān)鍵．