Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且a₂=4，a₃+a₄=24．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，b₂=6，且{b_n-a_n}是等差數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=4}\\{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=24}\end{array}\right.$可求得q，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由b₁=3，b₂=6，且{b_n-a_n}是等差數(shù)列，可得數(shù)列{b_n-a_n}是首項為1，公差為d=1的等差數(shù)列，繼而可得${b_n}=n+{2^n}$，利用分組求和法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，依題意 q＞0．
因為$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=4}\\{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=24}\end{array}\right.$，
兩式相除得：q²+q-6=0，
解得 q=2，q=-3（舍去）．
所以 ${a_1}=\frac{a_2}{q}=2$．
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為 ${a_n}={a_1}•{q^{n-1}}={2^n}$．…（6分）
（Ⅱ）解：由已知可得b₁-a₁=3-2=1，b₂-a₂=6-4=2，
因為{b_n-a_n}為等差數(shù)列，
所以數(shù)列{b_n-a_n}是首項為1，公差為d=1的等差數(shù)列．
所以 b_n-a_n=1+（n-1）=n．
則${b_n}=n+{2^n}$．
因此數(shù)列{b_n}的前n項和：${T_n}=1+2+2+{2^2}+3+{2^3}+…+n+{2^n}$=（1+2+3+…+n）+（2+2²+2³+…+2ⁿ）=$\frac{{{n^2}+n}}{2}+{2^{n+1}}-2$．…（13分）

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列關(guān)系的確定及分組求和的運用，屬于中檔題．