分析 (1)用分析法即可證明,
(2)直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明不等式,(1)驗證n=1時不等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時成立,利用放縮法證明n=k+1時,不等式也成立.
解答 (1)證明 要證√1+a>1√1−b成立,只需證1+a>11−b,
只需證(1+a)(1-b)>1(1-b>0),即1-b+a-ab>1,
∴a-b>ab,只需證:a−bab>1,即1-1a>1.
由已知a>0,1-1a>1成立,∴√1+a>1√1−b成立.
(2)證明�、佼�(dāng)n=1時,左邊=12>1124,不等式成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥1)時,不等式成立,
即1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k>1124,
則當(dāng)n=k+1時,1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2=1k+1+1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2-1k+1
>1124+12k+1+12k+2-1k+1,
∵12k+1+12k+2-1k+1=2(k+1)+(2k+1)−2(2k+1)2(k+1)(2k+1)=12(k+1)(2k+1)>0,
∴1k+1+1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2-1k+1>1124+12k+1+12k+2-1k+1>1124,
∴當(dāng)n=k+1時,不等式成立.
由①②知對于任意正整數(shù)n,不等式成立.
點(diǎn)評 本題考查分析法數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,注意不等式的證明方法,放縮法的應(yīng)用,考查邏輯推理能力.
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A. | x3<x1<x2 | B. | x3<x2<x1 | C. | x1<x3<x2 | D. | x1<x2<x3 |
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A. | 0 | B. | \frac{1}{3} | C. | \frac{1}{6} | D. | \frac{1}{2} |
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A. | 2 | B. | 1 | C. | \frac{1}{2} | D. | \frac{1}{4} |
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