18.(1)已知a>0,b>0,$\frac{1}$-$\frac{1}{a}$>1.求證:$\sqrt{1+a}$>$\frac{1}{\sqrt{1-b}}$.
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{n+n}$>$\frac{11}{24}$(n∈N*).

分析 (1)用分析法即可證明,
(2)直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明不等式,(1)驗(yàn)證n=1時(shí)不等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)成立,利用放縮法證明n=k+1時(shí),不等式也成立.

解答 (1)證明 要證$\sqrt{1+a}$>$\frac{1}{\sqrt{1-b}}$成立,只需證1+a>$\frac{1}{1-b}$,
只需證(1+a)(1-b)>1(1-b>0),即1-b+a-ab>1,
∴a-b>ab,只需證:$\frac{a-b}{ab}$>1,即$\frac{1}$-$\frac{1}{a}$>1.
由已知a>0,$\frac{1}$-$\frac{1}{a}$>1成立,∴$\sqrt{1+a}$>$\frac{1}{\sqrt{1-b}}$成立.
(2)證明、佼(dāng)n=1時(shí),左邊=$\frac{1}{2}$>$\frac{11}{24}$,不等式成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),不等式成立,
即$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{k+k}$>$\frac{11}{24}$,
則當(dāng)n=k+1時(shí),$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$=$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$-$\frac{1}{k+1}$
>$\frac{11}{24}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$-$\frac{1}{k+1}$,
∵$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$-$\frac{1}{k+1}$=$\frac{2(k+1)+(2k+1)-2(2k+1)}{2(k+1)(2k+1)}$=$\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}$>0,
∴$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+$\frac{1}{k+3}$+…+$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$-$\frac{1}{k+1}$>$\frac{11}{24}$+$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$-$\frac{1}{k+1}$>$\frac{11}{24}$,
∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.
由①②知對于任意正整數(shù)n,不等式成立.

點(diǎn)評 本題考查分析法數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,注意不等式的證明方法,放縮法的應(yīng)用,考查邏輯推理能力.

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