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18.(1)已知a>0,b>0,\frac{1}-1a>1.求證:1+a11b
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明1n+1+1n+2+1n+3+…+1n+n1124(n∈N*).

分析 (1)用分析法即可證明,
(2)直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明不等式,(1)驗證n=1時不等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時成立,利用放縮法證明n=k+1時,不等式也成立.

解答 (1)證明 要證1+a11b成立,只需證1+a>11b,
只需證(1+a)(1-b)>1(1-b>0),即1-b+a-ab>1,
∴a-b>ab,只需證:abab>1,即1-1a>1.
由已知a>0,1-1a>1成立,∴1+a11b成立.
(2)證明�、佼�(dāng)n=1時,左邊=121124,不等式成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥1)時,不等式成立,
1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k1124
則當(dāng)n=k+1時,1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2=1k+1+1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2-1k+1
1124+12k+1+12k+2-1k+1
12k+1+12k+2-1k+1=2k+1+2k+122k+12k+12k+1=12k+12k+1>0,
1k+1+1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2-1k+11124+12k+1+12k+2-1k+11124
∴當(dāng)n=k+1時,不等式成立.
由①②知對于任意正整數(shù)n,不等式成立.

點(diǎn)評 本題考查分析法數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,注意不等式的證明方法,放縮法的應(yīng)用,考查邏輯推理能力.

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