Question

9．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)，-1≤t≤1），當(dāng)t=1時(shí)，曲線C₁上的點(diǎn)為A，當(dāng)t=-1時(shí)，曲線C₁上的點(diǎn)為B，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C₂的極坐標(biāo)方程$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$
（Ⅰ） 求線段AB的極坐標(biāo)方程；C₂的參數(shù)方程
（Ⅱ） 設(shè)M是曲線C₂上的動(dòng)點(diǎn)，求|MA|²+|MB|²最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出A$（-1，\sqrt{3}），B（1，-\sqrt{3}）$，從而求出線人段AB的直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而能求出線段AB的極坐標(biāo)方程；曲線C₂的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為4ρ²+5（ρsinθ）²=36，由此能求出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，從而能求出曲線C₂的參數(shù)方程．
（Ⅱ）設(shè)曲線C₂上的動(dòng)點(diǎn)M（3cosα，2sinα），從而|MA|²+|MB|²=（3cosα+1）²+（2sinα-$\sqrt{3}$）²+（3 cosα-1）²+（2sinα+$\sqrt{3}$）²=10cos²α+16≤26，由此能求出|MA|²+|MB|²的最大值及對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)，-1≤t≤1），
當(dāng)t=1時(shí)，曲線C₁上的點(diǎn)為A，當(dāng)t=-1時(shí)，曲線C₁上的點(diǎn)為B，
∴A$（-1，\sqrt{3}），B（1，-\sqrt{3}）$，
∴線段AB的直角坐標(biāo)方程為：$\frac{y+\sqrt{3}}{x-1}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{-1-1}$=-$\sqrt{3}$，（-1≤x≤1），
整理，得：$\sqrt{3}x+y=0$，（-1≤x≤1），
∴線段AB的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}ρcosθ$+ρsinθ=0，即2sin（$θ+\frac{π}{3}$）=0，（θ∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]）．
∵曲線C₂的極坐標(biāo)方程$ρ=\frac{6}{{\sqrt{4+5{{sin}^2}θ}}}$，化為ρ²（4+5sin²θ）=36，
∴4ρ²+5（ρsinθ）²=36，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為4（x²+y²）+5y²=36，化為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)）．
（Ⅱ）設(shè)曲線C₂上的動(dòng)點(diǎn)M（3cosα，2sinα），
∵A（-1，$\sqrt{3}$），B（1，-$\sqrt{3}$），
|MA|²+|MB|²=（3cosα+1）²+（2sinα-$\sqrt{3}$）²+（3 cosα-1）²+（2sinα+$\sqrt{3}$）²
=18cos²α+8sin²α+8=10cos²α+16≤26，當(dāng)cosα=±1時(shí)，取得最大值26．
∴|MA|²+|MB|²的最大值是26，此時(shí)M（3，0），（-3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段的極坐標(biāo)方程、曲線的參數(shù)方程求法，考查代數(shù)式的最大值的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．