Question

16．如圖所示，已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{1}{2}$，E的右焦點到直線y=x+1的距離為$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)橢圓E的右頂點為A，不經(jīng)過點A的直線l與橢圓E交于M，N兩點，且以MN為直徑的圓過A，求證：直線l恒過定點，并求出此定點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率，右焦點到直線y=x+1的距離為$\sqrt{2}$．求出a，c，然后求出b，即可得到橢圓方程．
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+t，由$\left\{\begin{array}{l}x=my+t\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，消去x，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韋達定理，結(jié)合以MN為直徑的圓過橢圓右頂點，推出（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，代入求出t，即可得到直線l恒過定點．

解答 解：（1）∵橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率為$\frac{1}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，即a=2c．…（2分）
∵橢圓E的右焦點（c，0）到直線l：y=x+1的距離為$\sqrt{2}$．
∴$\frac{{|{c+1}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，∴c=1．…（4分）
解得a=2，又a²=b²+c²，∴$b=\sqrt{3}$，故橢圓E的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（5分）
（2）由題意可知，直線l的斜率為0時，不合題意，
不妨設(shè)直線l的方程為x=my+t，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+t\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，消去x得（3m²+4）y²+6mty+3t²-12=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=-\frac{6mt}{{3{m^2}+4}}$，${y_1}{y_2}=\frac{{3{t^2}-12}}{{3{m^2}+4}}$．…（7分）
∵以MN為直徑的圓過橢圓右頂點，∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
即$（{{m^2}+1}）{y_1}{y_2}+m（{t-2}）（{{y_1}+{y_2}}）+{（{t-2}）^2}=0$．…（9分）
∴$（{{m^2}+1}）•\frac{{3{t^2}-12}}{{3{m^2}+4}}+m（{t-2}）•（{-\frac{6mt}{{3{m^2}+4}}}）+{（{t-2}）^2}=0$，
解得$t=\frac{2}{7}$或t=2（舍）…（11分）
故直線l恒過定點$（{\frac{2}{7}，0}）$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，恒過定點問題的處理方法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．