Question

11．如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．PO=$\sqrt{2}$，AB=2．求證：
（1）求棱錐P-ABCD體積；
（2）平面PAC⊥平面BDE；
（3）求二面角E-BD-C的大�。�

Answer 1

分析 （1）由PO⊥面ABCD，PO=$\sqrt{2}$，AB=2，能求出棱錐P-ABCD體積．
（2）推導(dǎo)出PO⊥BD，AC⊥BD，從而B(niǎo)D⊥面PAC，由此能證明平面PAC⊥平面BDE．
（3）由EO⊥BD，CO⊥BD，知∠EOC為二面角E-BD-C的平面角，由此能示出二面角E-BD-C的大�。�

解答 解：（1）∵PO⊥面ABCD，PO=$\sqrt{2}$，AB=2，ABCD是正方形，
∴棱錐P-ABCD體積V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×4$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
證明：（2）∵PO⊥平面ABCD，BD?面ABCD，
∴PO⊥BD，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PO∩AC=O，∴BD⊥面PAC，
∵BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．
解：（3）∵EO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠EOC為二面角E-BD-C的平面角，
作EF∥PO，交AC于F，EF=$\frac{1}{2}PO$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AC=2$\sqrt{2}$，F(xiàn)O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠EOC=45°，
所以二面角E-BD-C為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四棱錐的體積的求法，考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．