過已知點(3，0)的直線l與圓x2＋y2＋x－6y＋3＝0相交于P，Q兩點，且OP⊥OQ(其中O為原點)，求直線l的方程．

答案：
解析：

　　分析：若設(shè)點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則由OP⊥OQ，可得·＝－1．由P，Q分別在圓及直線上，可借助方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．

　　解：設(shè)點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線l的方程為x＋ay－3＝0．則點P，Q的坐標(biāo)分別滿足方程組

　　消去y，得(a2＋1)x2＋(a2＋6a－6)x＋3a2－18a＋9＝0．

　　所以x1x2＝　①

　　消去x，得(a2＋1)y2－(7a＋6)y＋15＝0．

　　所以y1y2＝．　②

　　因為OP⊥OQ，所以·＝－1，

　　即y1y2＋x1x2＝0．

　　將①②代入上式，解得a＝2，或a＝4．

　　所以直線l的方程為x＋2y－3＝0，或x＋4y－3＝0．

　　點評：本題巧用根與系數(shù)的關(guān)系，列出y1y2＋x1x2＝0，進(jìn)而求方程得解．另外，將過點(3，0)的直線的方程設(shè)為x＋ay－3＝0可避免分類討論．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點B（0，1），點C（0，-3），直線PB、PC都是圓（x-1）2+y2=1的切線（P點不在y軸上）．以原點為頂點，且焦點在x軸上的拋物線C恰好過點P．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點（1，0）作直線l與拋物線C相交于M，N兩點，問是否存在定點R，使
RM
•
RN
為常數(shù)？若存在，求出點R的坐標(biāo)及常數(shù)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知點F（0，1），直線L：y=-2，及圓C：x2+（y-3）2=1．
（1）若動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1，求動點M的軌跡E的方程；
（2）過點F的直線g交軌跡E于G（x1，y1）、H（x2，y2）兩點，求證：x1x2 為定值；
（3）過軌跡E上一點P作圓C的切線，切點為A、B，要使四邊形PACB的面積S最小，求點P的坐標(biāo)及S的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•普陀區(qū)二模）已知點E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），直線EP，F(xiàn)P相交于點P，且它們的斜率之積為-
1
4
．
（1）求證：點P的軌跡在橢圓C：
x2
4
+y2=1上；
（2）設(shè)過原點O的直線AB交（1）題中的橢圓C于點A、B，定點M的坐標(biāo)為(1，
1
2
)，試求△MAB面積的最大值，并求此時直線AB的斜率kAB；
（3）某同學(xué)由（2）題結(jié)論為特例作推廣，得到如下猜想：
設(shè)點M（a，b）（ab≠0）為橢圓C：
x2
4
+y2=1內(nèi)一點，過橢圓C中心的直線AB與橢圓分別交于A、B兩點．則當(dāng)且僅當(dāng)kOM=-kAB時，△MAB的面積取得最大值．
問：此猜想是否正確？若正確，試證明之；若不正確，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列六個命題：
①sin1＜3sin
1
3
＜5sin
1
5

②若f'（x0）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x0取得極值；
③“?x0∈R，使得ex0＜0”的否定是：“?x∈R，均有ex≥0”；
④已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，則
1
x
+
1
y
=3；
⑤已知a=
∫
π
0
sinxdx，點(
3
，a)到直線
3
x-y+1=0的距離為1；
⑥若|x+3|+|x-1|≤a2-3a，對任意的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a≤-1，或a≥4；
其中真命題是
①③④⑤
①③④⑤
（把你認(rèn)為真命題序號都填在橫線上）

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