Question

12．過(guò)原點(diǎn)作直線l和拋物線y=x²-4x+6交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 將直線方程代入到拋物線方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，再消參即可．

解答 解：由題意分析知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程y=kx．
把它代入拋物線方程y=x²-4x+6，得x²-（4+k）x+6=0．…..2分
因?yàn)橹本�和拋物線相交，所以△＞0，
解得$k∈（-∞，-4-2\sqrt{6}）∪（-4+2\sqrt{6}，+∞）$．…..4分
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=4+k，x₁x₂=6．
∴x=$\frac{4+k}{2}$，y=$\frac{4k+{k}^{2}}{2}$…..6分
消去k得y=2x²-4x．…..10分
又2x=x₁+x₂=4+k，所以$x∈（-∞，-\sqrt{6}）∪（\sqrt{6}，+∞）$．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為$y=2{x^2}-4x，x∈（-∞，-\sqrt{6}）∪（\sqrt{6}，+∞）$．….12分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查軌跡問(wèn)題，屬于中檔題．