Question

設f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，
當0≤x≤1時，f(x)＝x.
(1)求f(3)的值；
(2)當－4≤x≤4時，求f(x)的圖像與x軸所圍成圖形的面積．

Answer 1

（1）-1       （2）4

解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4為周期的周期函數，
所以f(3)＝f(3－4)＝－f(1)＝－1.
(2)由f(x)是奇函數與f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函數y＝f(x)的圖像關于直線x＝1對稱．
又0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖像關于原點成中心對稱，則－1≤x≤0時，f(x)＝x，則f(x)的圖像如圖所示．

當－4≤x≤4時，設f(x)的圖像與x軸圍成的圖形面積為S，
則S＝4S_△OAB＝4×＝4.