Question

設(shè)函數(shù)f（x）的最小正周期為2002，并且f（1001+x）=f（1001-x）對一切x∈R均成立，試判斷f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：已知f（a+x）=f（a-x）則f（x）的一個對稱軸是x=a，再利用還原得到f（x）=f（2002-x），進而利用f（x）的最小正周期為2002得到f（x）=f（-x）即f（x）是偶函數(shù)．函數(shù)奇偶性，周期性，對稱性的綜合運用．

解答：解：設(shè)t=1001+x則x=t-1001
∴f（t）=f（2002-t）
∴f（x）=f（2002-x）
又∵函數(shù)f（x）的最小正周期為2002
∴f（2002-x）=f（-x）
∴f（x）=f（-x）
∴f（x）是偶函數(shù)

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性，周期性，對稱性的綜合應(yīng)用，三個性質(zhì)中只要滿足兩個函數(shù)一定也滿足第三個性質(zhì)．由f（a+x）=f（a-x）也可以得到f（x）的一個對稱軸軸是x=a