如圖,已知平行四邊形ABCD中,BC=2,BD⊥CD,四邊形ADEF為正方形,平面ADEF⊥平面ABCD,G,H分別是DF,BE的中點(diǎn).記CD=x,V(x)表示四棱錐F-ABCD的體積.
(1)求V(x)的表達(dá)式;(2)求V(x)的最大值.
(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交線為AD且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD.∵BD⊥CD,BC=2,CD=x,
∴FA=2,BD=(0<x<2),
∴S□ABCD=CD·BD=x,
∴V(x)=S□ABCD·FA=
x
(0<x<2).
(2)方法一:要使V(x)取得最大值,只需x=
(0<x<2)取
得最大值,
∵x2(4-x2)≤()2=4,
∴V(x)≤×2=
.
當(dāng)且僅當(dāng)x2=4-x2,即x=時等號成立.
故V(x)的最大值為.
方法二:V(x)=x
=
=.
∵0<x<2,∴0<x2<4,∴當(dāng)x2=2,即x=時,V(x)取得最大值,且V(x)max=
.
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