Question

若不等式1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，-1]時(shí)總成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意得：a＞

-2x-1

4x

=-

1

(2x+1)+ 1 2x+1 -2

在x∈（-∞，-1]時(shí)總成立，構(gòu)造函數(shù)f（x）=（2^x+1）+

1

2x+1

-2，利用“雙鉤”函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求得f（x）_max=

1

6

，繼而可得y=[-

1

f(x)

]max，于是可得答案．

解答： 解：∵1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，-1]時(shí)總成立，
∴a＞

-2x-1

4x

=-

(1+2x)

22x

=-

2x+1

[(2x+1)-1]2

=-

1

(2x+1)+ 1 2x+1 -2

在x∈（-∞，-1]時(shí)總成立，
令f（x）=（2^x+1）+

1

2x+1

-2，
則a＞[-

1

f(x)

]max．
∵x∈（-∞，-1]，
∴2^x∈（0，

1

2

]，（2^x+1）∈（1，

3

2

]，
再令t=2^x+1，t∈（1，

3

2

]，則g（t）=t+

1

t

-2在區(qū)間（1，

3

2

]上單調(diào)遞增，y=

1

t+ 1 t -2

在區(qū)間（1，

3

2

]上單調(diào)遞減，y=-

1

t+ 1 t -2

在區(qū)間（1，

3

2

]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，t=2^x+1取得最大值

3

2

，y_max=-

1

3 2 + 2 3 -2

=-6，即[-

1

f(x)

]max=-6．
∴a＞-6．
故答案為：（-6，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)思想的應(yīng)用，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于難題．