Question

【題目】如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，，，（）

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值；

（3）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問(wèn)共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫(xiě)出的解析式．（直接寫(xiě)出答案，不必說(shuō)明理由）

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）

（3）

【解析】

（1）取得中點(diǎn)，連接，可證明四邊形是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又側(cè)棱底面，可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；

（2）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，由線面角的向量公式即可得出；

（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4種不同方案．寫(xiě)出每一方案下的表面積，通過(guò)比較即可得出．

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，

，，

四邊形是平行四邊形，

，且，，

，，

又，．

側(cè)棱底面，，

，平面．

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向?yàn)?/span>軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．

，，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，取，則，．

．

設(shè)與平面所成角為，則

，

解得，故所求．

（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案．

寫(xiě)出每一方案下的表面積，通過(guò)比較即可得出．