【題目】設個正數(shù)依次圍成一個圓圈,其中是公差為的等差數(shù)列,而是公比為的等比數(shù)列.
(1)若,求數(shù)列的所有項的和;
(2)若,求的最大值;
(3)當時是否存在正整數(shù),滿足?若存在,求出值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2);(3)時,存在滿足等式.
【解析】
(1)先由題意得到,確定數(shù)列中元素,即可得出結果;
(2)先由是首項為,公差為的等差數(shù)列,得到;根據(jù)是公比為的等比數(shù)列,所以,推出,再由題意,即可得出結果;
(3)先由題意得到,,得到,再由題中條件,得到,進而可求出結果.
(1)由題意可得:,
因此數(shù)列為共個數(shù),
此時,;
(2)因為是首項為,公差為的等差數(shù)列,所以;
而是公比為的等比數(shù)列,所以,因此,
所以,因此,要使最大,則最大;
又,故的最大值為,可得:,
解得:;即的最大值為;
(3)由是公差為的等差數(shù)列,可得:,
而是公比為的等比數(shù)列,所以.
故,即,
又,,
所以,即,
即,即,因此,
所以,
所以;代入驗證可得:當時,上式等式成立,此時;
綜上,當且僅當時,存在滿足等式.
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【題目】已知坐標平面上動點與兩個定點, ,且.
(1)求點的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;
(2)記(1)中軌跡為,過點的直線被所截得的線段長度為8,求直線的方程.
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【題目】已知互不重合的直線,互不重合的平面,給出下列四個命題,正確命題的個數(shù)是
①若 , ,,則
②若,,則
③若,,,則
④若 , ,則//
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】下列命題:①“”是“存在,使得成立”的充分不必要條件;②“”是“存在,使得成立”的必要條件;③“”是“不等式對一切恒成立”的充要條件. 其中所以真命題的序號是
A.③B.②③C.①②D.①③
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【題目】已知點,(為正整數(shù))都在函數(shù)的圖象上.
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列,證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)設,過點的直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為,試求最小的實數(shù),使對一切正整數(shù)恒成立;
(3)對(2)中的數(shù)列,對每個正整數(shù),在與之間插入個3,得到一個新的數(shù)列,設是數(shù)列的前項和,試探究2016是否是數(shù)列中的某一項,寫出你探究得到的結論并給出證明.
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【題目】設首項為1的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且an=,若Sm>999,則正整數(shù)m的最小值為( 。
A.15B.16C.17D.14
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【題目】隨著科技的發(fā)展,網購已經逐漸融入了人們的生活.在家里面不用出門就可以買到自己想要的東西,在網上付款即可,兩三天就會送到自己的家門口,如果近的話當天買當天就能送到,或者第二天就能送到,所以網購是非常方便的購物方式.某公司組織統(tǒng)計了近五年來該公司網購的人數(shù)(單位:人)與時間(單位:年)的數(shù)據(jù),列表如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
24 | 27 | 41 | 64 | 79 |
(1)依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù),是否可用線性回歸模型擬合與的關系,請計算相關系數(shù)并加以說明(計算結果精確到0.01).(若,則線性相關程度很高,可用線性回歸模型擬合)
附:相關系數(shù)公式 ,參考數(shù)據(jù).
(2)建立關于的回歸方程,并預測第六年該公司的網購人數(shù)(計算結果精確到整數(shù)).
(參考公式: ,)
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【題目】在平面直角坐標系中,點在橢圓 上,過點的直線的方程為.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若直線與軸、軸分別相交于兩點,試求面積的最小值;
(Ⅲ)設橢圓的左、右焦點分別為,,點與點關于直線對稱,求證:點三點共線.
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【題目】非空有限集合是由若干個正實數(shù)組成,集合的元素個數(shù).對于任意,數(shù)或中至少有一個屬于,稱集合是“好集”:否則,稱集合是“壞集”.
(1)判斷和是“好集”,還是“壞集”;
(2)題設的有限集合中,既有大于1的元素,又有小于1的元素,證明:集合是“壞集”.
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