Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=1，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）若AE=2-

3

，求二面角D₁-EC-D的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明D₁E⊥A₁D．
（2）求出平面DEC的法向量和平面ECD的法向量，由此能求出二面角D-EC-D的大小．

解答： （1）證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AE=x（0≤x≤1），
則D₁（0，0，1），E（1，x，0），D（0，0，0），A₁（1，0，1），

D1E

=（1，x，-1），

A1D

=（-1，0，-1），
∴

D1E

•

A1D

=-1+0+1=0，
∴D₁E⊥A₁D．
（2）解：設(shè)平面DEC的法向量

n

=(a，b，c)，
二面角D-EC-D的大小為θ，
∵AE=2-

3

，∴E(1，2-

3

，0)，
∴

CE

=(1，-

3

，0)，

D1C

=(0，2，-1)，

D D   1

=(0，0，1)，
由

n • D1C =0 n • CE =0

⇒

2b-c=0 a- 3 b=0.

令b=1，∴c=2，a=

3

，∴

n

=(

3

，1，2)．
又平面ECD的法向量

DD1

=（0，0，1），
依題意cosθ=

| n • DD1 |

| n |•| DD1 |

=

2

2

，
θ=

π

4

，即二面角D-EC-D的大小為

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．