Question

設函數(shù)f（e^x）=ex，g（x）=

1

e

f（x）-（x+1）（e=2.718…）
（1）求函數(shù)g（x）的極大值
（2）求證1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)(n∈N*)
（3）若h（x）=

1

2

x2，曲線y=h（x）與 y=f（x）是否存在公共點，若存在公共點，在公共點處是否存在公切線，若存在，求出公切線方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用換元法，求出f（x）的解析式，繼而得到g（x）的解析式，在根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的極值的關系，求出極值即可，
（2）由（1）可以得到g（x）≤g（1）=-2，即得到lnx≤x-1，即

1

n

＞ln（1+

1

n

）=ln（

n+1

n

），利用累加法即可證明不等式成立
（3）構造函數(shù)F（x）=h（x）-f（x），求出函數(shù)F（x）有最大值，繼而說明曲線y=h（x）與 y=f（x）存在公共點，問題得以解決

解答： （1）令t=e^x，∴x=lnt，f（t）=elnt，
∴f（x）=elnx（x＞0）
∴g（x）=lnx-（x+1）
∴g′(x)=

1-x

x

，
令g′（x）=0，解得x=1
當0＜x＜1時，g'（x）＞0，函數(shù)單調遞增
當x＞1時，g'（x）＜0，函數(shù)單調遞減，
故當x=1是函數(shù)有極大值，
∴g（x）極大值=g（1）=-2，
（2）由（1）知，x=1是極大值點，也是最大值點，
所以g（x）≤g（1）=-2
即lnx-（x+1）≤-2，lnx≤x-1（當且僅當x=1時等號成立），
令u=x-1，得u≥ln（u+1），
取u=

1

n

（n∈N^*），
∴

1

n

＞ln（1+

1

n

）=ln（

n+1

n

），
∴1＞ln2，

1

2

＞ln

3

2

，

1

3

＞ln

4

3

，…∴

1

n

＞ln（1+

1

n

），
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（2，•

3

2

•

4

3

…

n+1

n

）=ln（n+1），
（1）令F（x）=h（x）-f（x）=

1

2

x2-elnx（x＞0），
∴F′（x）=

(x+ e )(x- e )

x

，
令F′（x）=0，解得x=

e

，
當x＞

e

時，F(xiàn)'（x）＞0，函數(shù)單調遞增
當0＜x＜

e

時，g'（x）＜0，函數(shù)單調遞減，
∴當x=

e

是函數(shù)有極大值，
∴F（x）_min=F（

e

）=0，
∴兩曲線只有一個公共點為（

e

，

1

2

e），
∴f′（e）=h′（

e

）=

e

．
故公切線方程為y=

e

x+

1

2

e．

點評：本題重點考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，利用函數(shù)的性質解決不等式、切線方程問題．重點考查學生的推理論證能力．解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用，屬于難題