Question

記公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₃=9，a₃，a₅，a₈成等比數(shù)列．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及S_n；
（Ⅱ） 若c_n=2ⁿ•（

2

an

-λ），n=1，2，3，…，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接由已知列式求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式得答案；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n代入c_n=2ⁿ•（

2

an

-λ），由c_n+1-c_n分離λ后求出

4

n+2

-

2

n+1

的最大值得答案．

解答： 解：（Ⅰ） 由已知得：S3=9，a52=a3•a8，
∴

3a1+ 3×2 2 d=9 (a1+4d)2=(a1+2d)•(a1+7d)

，解得：a₁=2，d=1．
∴a_n=n+1，
Sn=

n(2+n+1)

2

=

n2

2

+

3

2

n；
（Ⅱ）由題知c_n=2n(

2

n+1

-λ)．
若使{c_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，
則c_n+1-c_n=2n+1(

2

n+2

-λ)-2n(

2

n+1

-λ)=2n(

4

n+2

-

2

n+1

-λ)＜0對(duì)一切n∈N^*恒成立，
即：

4

n+2

-

2

n+1

-λ＜0?λ＞(

4

n+2

-

2

n+1

)max，
又

4

n+2

-

2

n+1

=

2n

(n+2)(n+1)

=

2n

n2+3n+2

=

2

n+ 2 n +3

，
當(dāng)n=1或2時(shí)，(

4

n+2

-

2

n+1

)max=

1

3

．
∴λ＞

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了分離變量法求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．