Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+1，如果使f（x）≤kx對任意實(shí)數(shù)x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，則實(shí)數(shù)k=________．

Answer 1

分析：若f（x）≤kx對任意實(shí)數(shù)x∈（1，m]都成立，即x²+（2-k）x+1≤0對任意實(shí)數(shù)x∈（1，m]都成立，即（1，m]是不等式x²+（2-k）x+1≤0解集的一個子集，設(shè)不等式x²+（2-k）x+1≤0解集為a≤x≤b，則a≤1，b≥m，進(jìn)而根據(jù)使f（x）≤kx對任意實(shí)數(shù)x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，構(gòu)造關(guān)于k的方程，解方程即可得到答案．
解答：設(shè)g（x）=x²+（2-k）x+1
設(shè)不等式g（x）≤0的解集為a≤x≤b．
則△=（2-k）²-4＞=0，解得k≥4或k≤0
又∵函數(shù)f（x）=x²+2x+1，且f（x）＜=kx對任意實(shí)數(shù)x屬于（1，m]恒成立；
∴（1，m]⊆[a，b]
∴a≤1，b≥m
∴f（1）=4-k＜0，解得k＞4
m的最大值為b，所以有b=5．
即x=5是方程g（x）=0的一個根，代入x=5我們可以解得k=
故答案為：
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中將已知條件轉(zhuǎn)化為（1，m]是不等式x²+（2-k）x+1≤0解集的一個子集，是解答本題的關(guān)鍵．