Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）若f（x）在定義域上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若a＞0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)，其導(dǎo)函數(shù)大于等于0或小于等于0恒成立；二次不等式恒成立，即a≤0，又a≠0，從而得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后討論a研究函數(shù)在（0，2]上的單調(diào)性，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最小的一個(gè)就是最小值．

解答：解：（1）f′（x）=2x-2×

a

x

=

2(x2-a)

x

，
若函數(shù)f（x）是定義域（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即x²-a≥0在（0，+∞）上恒成立恒成立，
即只要a≤0，又a≠0，
實(shí)數(shù)a的取值范圍（-∞，0）．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=

2(x2-a)

x

=

2(x+ a )(x- a )

x

，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

a

）上為減函數(shù)，在區(qū)間（

a

，+∞）上為增函數(shù)．
（i）當(dāng)

a

＜2時(shí)，即0＜a＜4時(shí)，函數(shù)在（0，

a

）上遞減，[

a

，2]上遞增，
所以當(dāng)x=

a

時(shí)f（x）有最小值，并且最小值為a-alna；
（ii）當(dāng)

a

≥2即a≥4時(shí)，函數(shù)在（0，2]上遞減，
所以當(dāng)x=2時(shí)f（x）有最小值，并且最小值為4-2aln2．
綜上，當(dāng)0＜a＜4時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值為a-alna；
當(dāng)a≥4時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值為4-2aln2．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．