Question

【題目】已知函數(shù)（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且.

Answer 1

【答案】(1) 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)詳見解析

【解析】

（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，令得或，即可寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）當(dāng)時(shí)，分析函數(shù)的單調(diào)性知為函數(shù)的極小值點(diǎn)且，，可知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且可得，，可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用其增減性證明.

(1)

令得或

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以在遞減，在遞增

則為函數(shù)極小值點(diǎn)

又因?yàn)?/span>對于恒成立

對于恒成立

對于恒成立

所以當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)

即，

且，

所以

下面再證明即證

由得

又在上遞減，于是只需證明，

即證明

將代入得

令

則

因?yàn)?/span>為上的減函數(shù)，且

所以在上恒成立

于是為上的減函數(shù)，即

所以，即成立

綜上所述，