Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x，x∈R．求：
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的值域．
（3）若函數(shù)f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，得到函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2，易得最小正周期，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

解不等式可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由x的范圍，結(jié)合不等式的性質(zhì)和三角函數(shù)的運(yùn)算可得；
（3）由題意可得g（x）的解析式為g（x）=2sin（2x+2m+

π

6

）+2，求其對(duì)稱軸，可得m的不等式．

解答：解：（1）∵f（x）=sin²x+2

3

sinxcosx+3cos²x，
∴f（x）=1+

3

sin2x+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+2=2sin（2x+

π

6

）+2，
故函數(shù)的最小正周期為T(mén)=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
故函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
故函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2的值域?yàn)閇1，4]．
（3）∵函數(shù)f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，得到函數(shù)g（x）的圖象，
∴g（x）=2sin（2x+2m+

π

6

）+2，其對(duì)稱軸滿足2m+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
解得m=

kπ

2

+

π

6

，
∵m＞0，
∴當(dāng)k=0時(shí)，實(shí)數(shù)m的最小值

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和值域的求解，屬中檔題．