已知函數(shù)f(x)=ax+bsinx,當(dāng)x=
π
3
時(shí),取得極小值
π
3
-
3

(1)求a,b的值;
(2)對(duì)任意x1,x2∈[-
π
3
π
3
]
,不等式f(x1)-f(x2)≤m恒成立,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)直線l:y=g(x),曲線S:y=F(x),若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn);②對(duì)任意x∈R都有g(shù)(x)≥F(x),則稱直線l與曲線S的“上夾線”.觀察下圖:

根據(jù)上圖,試推測曲線S:y=mx-nsinx(n>0)的“上夾線”的方程,并作適當(dāng)?shù)恼f明.
分析:(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x),由已知可得f′(
π
3
)=0,f(
π
3
)=
π
3
-
3
,可得方程組,解出a,b后注意檢驗(yàn);
(2)對(duì)任意x1,x2∈[-
π
3
π
3
]
,不等式f(x1)-f(x2)≤m恒成立,等價(jià)于f(x)max-f(x)min≤m,利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)f(x)在[-
π
3
,
π
3
]
上的最大值、最小值;
(3)根據(jù)圖象可猜測“上夾線”方程為:y=mx+n,根據(jù)“上夾線”的定義進(jìn)行說明即可;
解答:解:(1)∵f(x)=ax+bsinx,∴f′(x)=a+bcosx,
而由已知得:
a+
1
2
b=0
π
3
a+
3
2
b=
π
3
-
3
,解得a=1,b=-2,
此時(shí)f(x)=x-2sinx,∴f′(x)=1-2cosx,
當(dāng)x∈(0,
π
3
)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)∈(
π
3
,
π
2
)時(shí),f′(x)>0,
∴當(dāng)x=
π
3
時(shí),f(x)取得極小值
π
3
-
3
,即a=1,b=-2符合題意;
(2)對(duì)任意x1x2∈[-
π
3
,
π
3
]
,不等式f(x1)-f(x2)≤m恒成立,等價(jià)于f(x)max-f(x)min≤m,
由(1)知f(x)=x-2sinx,f′(x)=1-2cosx,
當(dāng)x∈[-
π
3
π
3
]
時(shí),f′(x)≤0,所以f(x)在[-
π
3
,
π
3
]
上遞減,
f(x)min=f(
π
3
)
=
π
3
-
3
f(x)max=f(-
π
3
)
=-
π
3
+
3
,
f(x)max-f(x)min=2
3
-
3

所以m≥2
3
-
3
;
(3)根據(jù)圖象猜測“上夾線”方程為:y=mx+n,說明如下:
由y′(x)=m-ncosx=m,得cosx=0,
當(dāng)x=-
π
2
時(shí),cosx=0,此時(shí)y1=mx+n=-
2
+n,y2=mx-nsinx=-
2
+n,
∴y1=y2,
∴(-
π
2
,-
2
+n)是直線l與曲線S的切點(diǎn);
當(dāng)x=
2
時(shí),cosx=0,此時(shí)y1=mx+n=
3mπ
2
+n,y2=mx-nsinx=
3mπ
2
+n,
∴y1=y2
∴(
2
,
3mπ
2
+n)也是直線l與曲線S的切點(diǎn);
∴直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn),
對(duì)任意x∈R,(mx+n)-(mx-nsinx)=n(1+sinx)≥0,mx+n≥mx-nsinx,
因此直線l:y=mx+n為曲線S:y=mx-nsinx“上夾線”
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,(1)問知,求得a=1,b=-2后,需分析驗(yàn)證“x=
π
3
時(shí),f(x)取得極小值”,學(xué)生易忘記這一步;分析(-
π
2
,-
2
+n)與(
2
,
3m
2
+n)是直線l與曲線S的切點(diǎn),即滿足①是難點(diǎn),考查綜合分析與推理的能力,屬于難題.
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時(shí),求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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34
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(-∞,-2)
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2x
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