Question

已知橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），離心率e=，上焦點到直線y=的距離為，直線l與y軸交于一點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A，B且=t．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若+t=4，求m的取值范圍•

Answer 1

解：（1）∵橢圓離心率e=，焦點到直線y=的距離為，
∴
∴a=1，c=
∴
∴橢圓C的方程為；
（2）∵=t，∴（1+t）=+t
∵+t=4，∴1+t=4，∴t=3
設(shè)直線l與橢圓交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線y=kx+m代入橢圓方程，消去y可得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0①，x₁+x₂=，x₁x₂=
∵=3，∴-x₁=3x₂，∴x₁+x₂=-2x₂，x₁x₂=-3
∴3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0
∴3（）²+4×=0
∴4k²m²+2m²-k²-2=0
時，上述式子不成立，時，
∵t=3，∴k≠0，∴
∴或
經(jīng)檢驗符合①式
即所求m的取值范圍為（-1，-）∪（，1）．
分析：（1）根據(jù)橢圓離心率e=，焦點到直線y=的距離為，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓C的方程；
（2）先確定t=3，再將直線y=kx+m代入橢圓方程，利用韋達定理，建立等式關(guān)系，從而可得，由此可求m的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．