Question

15．已知向量|$\overrightarrow a$|=4，|$\overrightarrow b$|=3，$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$．
（1）求|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|；
（2）求向量$\overrightarrow a$在向量$\overrightarrow b$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意求出數(shù)量積$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值，再計(jì)算模長|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|的值；
（2）根據(jù)向量$\overrightarrow a$在向量$\overrightarrow b$方向上投影的定義，計(jì)算即可．

解答 解：（1）向量|$\overrightarrow a$|=4，|$\overrightarrow b$|=3，$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=61$，
∴4${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$-3${\overrightarrow}^{2}$=61，
∴4×4²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3×3²=61，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-6；
∴${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=4²+2×（-6）+3²=13，
∴|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=$\sqrt{13}$；
（2）向量$\overrightarrow a$在向量$\overrightarrow b$方向上的投影為：
|$\overrightarrow{a}$|cosθ=|$\overrightarrow{a}$|×$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{-6}{3}$=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積、模長公式以及投影的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．