Question

16．某市渭河的某水域有夾角為120°的兩條直線河岸l₁，l₂（如圖所示）：在該水域中，位于該角平分線且距A地相距1公里的D處有座千年古亭，為保護古亭，沿D所在直線BC建一河堤（B，C分別在l₁，l₂上，河堤下方有進、出水的橋洞）；現要在△ABC水域建一個水上游樂城，如何設計AB、AC河岸的長度，AB、AC都不超過5公里（不妨令AB=x公里，AC=y公里）．
（1）求y關于x的函數關系式，并寫出定義域．
（2）求該游樂城的面積至少可以有多少平方公里，此時AB、AC是如何設計的．

Answer 1

分析 （1）由S_△ABD+S_△ACD=S_△ABC，將y表示成x的函數，由0＜y≤5，0＜x≤5，求其定義域；
（2）$S=\frac{1}{2}xysin120°=\frac{{\sqrt{3}{x^2}}}{{4（{x-1}）}}（{\frac{4}{5}≤x≤5}）$，變形，利用基本不等式，即可得出結論．

解答 解：（1）設AB=x，AC=y（單位：公里）
∵S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}xysin120°=\frac{1}{2}xsin60°+\frac{1}{2}ysin60°$
即x+y=xy∴$y=\frac{x}{x-1}$
又∵$\left\{\begin{array}{l}0＜x≤5\\ 0＜y≤5\end{array}\right.$∴，$\frac{4}{5}≤x≤5$，∴所求定義域為$\left\{{x\left|{\frac{4}{5}≤x≤5}\right.}\right\}$
（2）由（1）知令游樂城面積為$S=\frac{1}{2}xysin120°=\frac{{\sqrt{3}{x^2}}}{{4（{x-1}）}}（{\frac{4}{5}≤x≤5}）$
$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2≥4，當且僅當x-1=$\frac{1}{x-1}$，即$x=2∈[{\frac{5}{4}，5}]$時，上式取等號．
∴x=y=2時，S取最小值$\sqrt{3}$．
答：當AB、AC長都設計為2公里時，游樂城的面積至少為$\sqrt{3}（{≈1.732}）$平方公里．

點評 本題考查的是利用基本不等式解決實際問題，考查三角形面積的計算，正確計算面積，利用基本不等式是關鍵．