已知函數(shù)f（x）=x3（x＞0），點An（n，yn），An+1（n+1，yn+1）在函數(shù)f（x）的圖象上（n∈N*）過點An，An+1的切線分別為Ln，Ln+1，Ln與Ln+1的交點的橫坐標為xn．設數(shù)學公式，則數(shù)學公式=


  1. A.
    數(shù)學公式
  2. B.
    1
  3. C.
    數(shù)學公式
  4. D.
    數(shù)學公式
A
分析：先求出其導函數(shù)，進而得到在點An，An+1的切線方程，根據函數(shù)值相等求出Ln與Ln+1的交點的橫坐標xn的表達式；進而求出an的表達式，通過對其分離常數(shù)以及裂項即可求出答案．
解答：對y=x3（n∈N*）求導得y′=3x2，
令x=n得在點An（n，yn）處的切線的斜率k=3n2，
所以在點An（n，yn）處的切線方程為y-n3=k（x-n）=3n2（x-n）?y=3n2x-2n3；
同理在An+1的切線方程為：y-（n+1）3=3（n+1）2[x-（n+1）]?y=3（n+1）2x-2（n+1）3．
∴3n2x-2n3=3（n+1）2x-2（n+1）3?x=
即?xn-1=．
∴=•===+=+（）．
∴=
==（+×）
=．
故選：A．
點評：本小題主要考查直線的斜率、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、數(shù)列的分組求和，裂項相消等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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