Question

2．已知點A（0，2）．曲線C：y=alnx恒過定點B，P為曲線C上的動點，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$的最小值為5，則a=（　�。�

• A． -1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 運用對數(shù)函數(shù)的圖象特點可得B（1，0），設(shè)P（x，alnx），運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得f（x）=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=x-2alnx+4，x∈（0，+∞），再由導(dǎo)數(shù)，求得極值點即為最值點，對a討論通過單調(diào)性即可判斷．

解答 解：曲線C：y=alnx恒過點B，則令x=1，可得y=0，
即B（1，0），又點A（0，2），設(shè)P（x，alnx），
$\overrightarrow{AP}$=（x，alnx-2），$\overrightarrow{AB}$=（1，-2），
則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=f（x）=x-2alnx+4，
由于f（x）=x-2alnx+4在（0，+∞）上有最小值5，
且f（1）=5，故x=1是f（x）的極值點，即最小值點．
f′（x）=1-$\frac{2a}{x}$=$\frac{x-2a}{x}$，
a＜0，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
所以沒有最小值；故不符合題意；
當(dāng)a＞0，x∈（0，2a）時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，2a）是減函數(shù)，
在（2a，+∞）是增函數(shù)，有最小值為f（2a）=5，
即2a-aln2a+4=5，解得a=$\frac{1}{2}$．
故選C．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，關(guān)鍵是將數(shù)量積表示為關(guān)于x的函數(shù)，通過求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，得到最值求參數(shù)．