在邊長為a的正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別為BC,CD的中點,現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊,使B、C、D三點重合,構成一個三棱錐B-AEF,如圖所示.
(Ⅰ)在三棱錐B-AEF中,求證:AB⊥EF;
(Ⅱ)求四棱錐E-AMNF的體積.

(I)證明:在三棱錐B-AEF中,
因為AB⊥BE,AB⊥BF,BE∩BF=B,
所以AB⊥平面BEF.…..(3分)
又EF?平面BEF,
所以AB⊥EF.…..(6分)
(II)解:因為在△ABF中,M、N分別為AB、BF的中點,
所以四邊形AMNF的面積是△ABF面積的.…..(8分)
又三棱錐E-ABF與四棱錐E-AMNF的高相等,
所以,四棱錐E-AMNF的體積是三棱錐E-ABF的體積的,
因為VE-ABF=VA-BEF,
所以.…..(10分)
因為,
所以,
故四棱錐E-AMNF的體積為.…..(13分)
分析:(I)在三棱錐B-AEF中,因為AB⊥BE,AB⊥BF,BE∩BF=B,所以AB⊥平面BEF.由此能夠證明AB⊥EF.
(II)因為在△ABF中,M、N分別為AB、BF的中點,所以四邊形AMNF的面積是△ABF面積的.因為三棱錐E-ABF與四棱錐E-AMNF的高相等,所以,四棱錐E-AMNF的體積是三棱錐E-ABF的體積的,因為VE-ABF=VA-BEF,所以.由此能夠求出四棱錐E-AMNF的體積.
點評:本題考查在三棱錐B-AEF中,求證AB⊥EF,求四棱錐E-AMNF的體積.解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地化空間問題為平面問題.
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