Question

12．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，|F₁F₂|=2c，點(diǎn)A在橢圓上，且AF₁垂直于x軸，$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=c²，則橢圓的離心率e等于（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，得到A的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得向量$\overrightarrow{A{F}_{1}}、\overrightarrow{A{F}_{2}}$的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=c²列式求得橢圓的離心率e．

解答 解：如圖，
由$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，得${y}^{2}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}^{2}）$，
取x=c，可得：${y}^{2}=\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，$y=±\frac{^{2}}{a}$，
∴A（-c，$\frac{^{2}}{a}$），又F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
則$\overrightarrow{A{F}_{1}}=（0，-\frac{^{2}}{a}），\overrightarrow{A{F}_{2}}=（2c，-\frac{^{2}}{a}）$，
由$\overrightarrow{A{F}_{1}}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=c²，得$（-\frac{^{2}}{a}）（-\frac{^{2}}{a}）={c}^{2}$，即$\frac{^{4}}{{a}^{2}}={c}^{2}$，
∴$\frac{（{a}^{2}-{c}^{2}）^{2}}{{a}^{2}}={c}^{2}$，即e⁴-3e²+1=0，解得${e}^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴$e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查利用向量數(shù)量積求橢圓的斜率，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．