7．a(chǎn)，b，c是互不相等的正數(shù)，且abc=1，求證：（1+a+b）（1+b+c）（1+c+a）＞27．

分析 運(yùn)用三元基本不等式：a+b+c≥3$\root{3}{abc}$，再由累乘法，結(jié)合條件即可得證．

解答 證明：由1+a+b≥3$\root{3}{ab}$，①
1+b+c≥3$\root{3}{bc}$，②
1+c+a≥3$\root{3}{ca}$，③
①②③，可得（1+a+b）（1+b+c）（1+c+a）≥27$\root{3}{（abc）^{2}}$，
由a，b，c是互不相等的正數(shù)，且abc=1，
則等號(hào)取不到，即有（1+a+b）（1+b+c）（1+c+a）＞27．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用三元基本不等式，以及滿足的條件：一正二定三等，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

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（2）設(shè)${b_n}=\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得${T_n}＜\frac{m}{2016}$對(duì)所有的（n∈N*）都成立的最小正整數(shù)m．

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