Question

7．已知變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$，則$\frac{x+y}{x+2}$的最大值為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，即可求表達式的最大值．

解答 解：作出不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}}\right.$對應的平面區(qū)域：
$\frac{x+y}{x+2}$=1+$\frac{y-2}{x+2}$的幾何意義為區(qū)域內的點到P（-2，2）的斜率加1，
由圖象知，PA的斜率最大
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-2y+4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），
故PA的斜率k=$\frac{3-2}{2+2}$=$\frac{1}{4}$．
所求表達式的最大值為：1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃和直線斜率的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．