Question

給出以下命題：
①函數(shù)f（x）=|log2x2|既無最大值也無最小值；
②函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
③向量

AB

與向量

CD

共線，則A，B，C，D四點(diǎn)共線；
④若函數(shù)f（x）滿足|f（-x）|=|f（x）|，則函數(shù)f（x）或是奇函數(shù)或是偶函數(shù)；
⑤設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，則函數(shù)F（x）=f（x）-x在R上遞增．
其中正確的命題是

②④⑤

（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：①根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行判斷；
②根據(jù)對(duì)稱軸的公式進(jìn)行判斷；
③根據(jù)向量平行與共線的性質(zhì)進(jìn)行判斷；
④特殊函數(shù)常數(shù)函數(shù)，對(duì)其判斷；
⑤用定義法判斷則函數(shù)F（x）=f（x）-x在R上是否為遞增；

解答：解：①∵函數(shù)f（x）=|log2x2|≥0，顯然有最小值，故①錯(cuò)誤；
②∵函數(shù)f（x）=x²-2x-3，的對(duì)稱軸x=-

-2

2

=1，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=|x²-2x-3|與函數(shù)f（x）=x²-2x-3對(duì)稱軸一樣，∴函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故②正確；
③∵兩個(gè)向量平行就也叫共線，向量

AB

∥

CD

，但A B C D四點(diǎn)不一定共線，故③錯(cuò)誤；
④∵|f（-x）|=|f（x）|，∴f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），∴函數(shù)f（x）或是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，故④正確；
⑤∵對(duì)任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，
∴F（x₁）-F（x₂）=f（x₁）-x₁-f（x₂）+x₂=f（x₁）-f（x₂）-（x₁-x₂）＜0，
∴F（x₁）＜F（x₂），
∴函數(shù)F（x）=f（x）-x在R上遞增．
故⑤正確；
故答案為②④⑤；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查二次函數(shù)，向量的共線，以及奇偶函數(shù)的性質(zhì)，用定義法判斷函數(shù)的增減性，知識(shí)點(diǎn)比較多比較全面，是一道小型綜合題，難度不是很大．