Question

（2009•大連一模）已知兩數(shù)列{a_n}，{b_n}（其中b_n＞0，且b_n≠1），滿足a1=2，b1=

3

2，

且

an+1= 1 2 (an+ bn an ) bn+1= 1 2 (bn+ 1 bn )

(n∈N∈+)
（I）求證：a_n＞b_n
（II）求證：數(shù)列{a_n}的單調(diào)遞減且an+1＜1+

1

2n

．

Answer 1

分析：（I）先證b_n＞1．由b_n＞0，b_n≠1，利用基本不等式的性質(zhì)即可得到bn+1=

1

2

(bn+

1

bn

)＞

1

2

×2

bn× 1 bn

；再利用數(shù)學歸納法證明a_n＞b_n即可；
（II）通過作差并利用（I）的結(jié)論即可證明單調(diào)性，再利用放縮法即可證明an+1＜1+

1

2n

．

解答：證明：（I）先證b_n＞1．∵b_n＞0，b_n≠1，∴bn+1=

1

2

(bn+

1

bn

)＞

1

2

×2

bn× 1 bn

=1，又b1=

3

2

＞1，∴b_n＞1．
再證a_n＞b_n．①a1=2，b1=

3

2

，a1＞b1＞1；
②假設m=k時命題成立，即a_k＞b_k＞1，
則a_k+1-b_k+1=

1

2

(ak+

bk

ak

)-

1

2

(bk+

1

bk

)＞

1

2

(ak+

1

ak

)-

1

2

(bk+

1

bk

)=

1

2

(ak+bk)(1-

1

akbk

)＞0．
∴a_k+1＞b_k+1
所以n+k+1時命題也成立．
綜合①②可得a_k＞b_k．
（II）a_n+1-a_n=

1

2

(an+

bn

an

)-an=

1

2

(

bn

an

-an)，
∵b_n＜a_n，∴

bn

an

＜1，a_n＞1，∴a_n+1-a_n＜0．
故數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減．
∵an+1=

1

2

(an+

bn

an

)＜

1

2

(an+1)，
∴an+1-1＜

1

2

(an-1)＜…＜

1

2n

(a1-1)．
又a₁-1=1，∴an+1-1＜

1

2n

，
即an+1＜1+

1

2n

．

點評：熟練掌握基本不等式的性質(zhì)、數(shù)學歸納法、作差法、放縮法是解題的關鍵．注意利用已經(jīng)證明的結(jié)論．