Question

在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD = 90°， AD∥BC，AB = BC = a ，AD = 2a , PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角。

（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；

（2）在（1）的條件下，求異面直線AE與CD所成的角余弦值；

（3）求平面PAB與平面PCD所成的二面角的正切值。

Answer 1

解法一：（1）∵∠BAD = 90°，∴BA⊥AD

∵PA⊥底面ABCD，      ∴BA⊥PA

又∵PA∩AD = A         ∴BA⊥平面PAD

∵PD平面PAD       ∴PD⊥BA 。

又∵PD⊥AE ，且BA∩AE = A

∴PD⊥平面BAE        ∴PD⊥BE ，即BE⊥PD

（2）過點E作EM∥CD交PC于M，連結(jié)AM。則AE與ME所成角即為AE與CD所成角。

∵PA⊥底面ABCD，且PD與底面ABCD成30°角

∴∠PDA = 30°

∴在Rt△PAD中，∠PAD = 90°∠PDA = 30°， AD = a

∴PA =, PD =

∴AE =      

∴ME =

連結(jié)AC

∵在△ACD中AD = 2a ，AC = ， CD =，

∴AD² = AC² + CD²

∴∠ACD = 90°，      ∴CD⊥AC ，∴ME⊥AC ，

又∵PA⊥底面ABCD，  ∴PA⊥CD ，∴ME⊥PA

∴ME⊥平面PAC 。  ∵MA平面PAC

∵ME⊥AM        ∴在Rt△PME中，cos∠MEA =

∴異面直線AE與CD所成角的余弦值為

（3）延長AB與DC相交于G點，連PG，則面PAB與面PCD的交線為PG， 易知CB

⊥平面PAB，過B作BF⊥PG于F點，連CF，則CF⊥PG，

∴∠CFB為二面角C―PG―A的平面角，

=

∵CB∥AD，

∴GB=AB = a , ∠PDA = 30°,PA = ，AG = 2a

∴∠PGA = 30°

∴BF =GB =

∴平面PAB與平面PCD所成的二面角的正切值為2

解法二：（1）如圖建立空間直角標(biāo)系，   

    

則A ( 0, 0 ,0 ) , B ( a , 0 , 0 ) , E ( 0 , a , ) ,

C ( a , a , 0 ), D ( 0 , 2a , 0 ) , P ( 0 , 0 , )

∴，

∴? = ( a)×0 +a ?2a +? = 0

∴BE⊥PD

（2）由（1）知，=， = ( a , a , 0 )

設(shè)與所成角為

則cos=

∴異面直線AE與CD所成角的余弦值為

（3）易知，CD⊥AB， CB⊥PA，

則CB⊥平面PAB。∴是平面PAB的法向量

∴= ( 0 , a , 0 )

又設(shè)平面PCD的一個法向量為m = ( x , y , z )

則m⊥PC , m⊥CD .而= ( a , a , ) , ( a , a , 0 )

∴由m?= 0 , m?= 0

得 ∴

令y = 1 ∴m = ( 1 , 1 , )

設(shè)向量與m所成角為，

則cos=

∴tan= 2

∴平面PAB與平面PCD所成二面角的正切值為2