Question

已知圓：，點，直線.

(1)求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

（2）在直線上（為坐標原點），存在定點（不同于點），滿足：對于圓上的任一點，都有為一常數(shù)，試求出所有滿足條件的點的坐標.

 

Answer 1

（1）（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)所求直線與已知直線垂直,可設出直線方程,再根據(jù)直線與圓相切,所以有(其中表示圓心到直線的距離),可得到直線方程;

（2）方法一:假設存在這樣的點,由于的位置不定,所以首先考慮特殊位置, ①為圓與軸左交點或②為圓與軸右交點這兩種情況,由于對于圓上的任一點，都有為一常數(shù),所以①②兩種情況下的相等, 可得到,然后證明在一般的下, 為一常數(shù).

方法二:設出,根據(jù)對于圓上的任一點，都有為一常數(shù),設出以及該常數(shù),通過,代入的坐標化簡,轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解.

試題解析：（1）已知直線變形為為，因為所求直線與已知直線垂直，

所以設所求直線方程為，即.

由直線與圓相切，可知，其中表示圓心到直線的距離，

則，得，故所求直線方程為.

（2）假設存在這樣的點，

當為圓與軸左交點時，，

當為圓與軸右交點時，

依題意，，解得（舍去），或.

下面證明：點對于圓上任一點，都有為一常數(shù).

設，則.

，

從而為常數(shù).

方法2：假設存在這樣的點，使得為常數(shù)，則，

設于是，由于在圓上,所以,代入得，

，

即對恒成立，

所以 ，解得或（舍去），

故存在點對于圓上任一點，都有為一常數(shù).

考點：直線垂直,直線與圓的位置關系;討論特殊點的位置關系,恒成立問題的轉(zhuǎn)化.