Question

如圖，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F、F，A是橢圓C上的一點(diǎn)，AF⊥FF，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，OB垂直AF于B，且OF=3OB.

（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）求t∈（0，b），使得命題“設(shè)圓x+y=t上任意點(diǎn)M（x，y）處的切線交橢圓C于Q、Q兩點(diǎn)，那么OQ⊥OQ”成立.

Answer 1

（1）橢圓C的離心率為. （2）t=b∈（0，b）使得所述命題成

試題分析：解：（Ⅰ）解法一：由題設(shè)AF⊥FF及F（－c，0），F(xiàn)（c，0），不妨設(shè)點(diǎn)A（c，y），其中y>0，由于點(diǎn)A在橢圓上，有+=1，
+=1，解得y=，從而得到A.              1分
直線AF的方程為y=（x+c），整理得bx－2acy+bc=0.     2分
由題設(shè)，原點(diǎn)O到直線AF的距離為|OF|，即=，   3分
將c=a－b代入原式并化簡(jiǎn)得a=2b，即a=b.
∴e==.即橢圓C的離心率為.                 4分
解法二：點(diǎn)A的坐標(biāo)為.                               1分
過(guò)點(diǎn)O作OB⊥AF，垂足為B，易知△FBC∽△FFA，
故=.                                           2分
由橢圓定義得|AF|+|AF|=2a，又|BO|=|OF|，
所以=.                                   3分
解得|FA|=，而|FA|=，得=.                    
∴e==.即橢圓C的離心率為.                 4分
（Ⅱ）圓x+y=t上的任意點(diǎn)M（x，y）處的切線方程為xx+yy=t. 5分
當(dāng)t∈（0，b）時(shí)，圓x+y=t上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，故此圓在點(diǎn)A處的切線必交橢圓于兩個(gè)不同的點(diǎn)Q、Q，因此點(diǎn)Q（x，y），Q（x，y）的坐標(biāo)是方程組
的解.                                        6分
（1）當(dāng)y0時(shí)，由①式得y=.代入②式，得x+2=2b，
即（2x+y）x－4txx+2t－2by=0.                        7分
于是x+x=，xx=，
yy=·=
==.
若QQ⊥QQ，則xx+ yy=+==0.
所以，3t－2b（x+y）=0.                               8分
在區(qū)間（0，b）內(nèi)，此方程的解為t=b.              9分
（2）當(dāng)y=0時(shí)，必有x0，
同理求得在區(qū)間（0，b）內(nèi)的解為t=b.              10分
另一方面，當(dāng)t=b時(shí)，可推出xx+ yy=0，從而QQ⊥QQ.        11分
綜上所述，t=b∈（0，b）使得所述命題成立.                12分
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是熟練的根據(jù)橢圓的性質(zhì)來(lái)求解方程，同時(shí)借助與聯(lián)立方程組的思想和韋達(dá)定理來(lái)表示得到參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題。