Question

設(shè)F是拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A（-1，0）且斜率為k（k≠0）的直線與拋物線C和交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)

FM

與

FN

的夾角為120°，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意可得直線的方程，和拋物線聯(lián)立可得關(guān)于x的二次方程，由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=

4-2k2

k2

，x₁x₂=1，y₁y₂=4，代入夾角公式可得k的方程，解方程可得．

解答： 解：過(guò)點(diǎn)A（-1，0）且斜率為k（k≠0）的直線的方程為y=k（x+1），
與y²=4x聯(lián)立消y并整理可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則有x₁+x₂=

4-2k2

k2

，x₁x₂=1，
又y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，∴y₁²y₂²=16，
∵y₁y₂＞0，∴y₁y₂=4，
∴

FM

•

FN

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=

8k2-4

k2

，
∴|

FM

||

FN

|=

(x1-1)2+y12

•

(x2-1)2+y22

=（x₁+1）（x₂+1）=

4

k2

，
∴

FM

與

FN

的夾角為120°，∴cos120°=

FM • FN

| FM || FN |

=-

1

2

，
∴

8k2-4

k2

=-

1

2

×

4

k2

，解得k=±

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積和夾角，涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬中檔題．