Question

對于集合A={a₁，a₂，…a_n}（n≥2，n∈N^*），如果a₁•a₂…•a_n=a₁+a₂+…+a_n，則稱集合A具有性質(zhì)P，給出下列結(jié)論：
①集合{

-1+ 5

2

，

-1- 5

2

}具有性質(zhì)P；
②若a₁，a₂∈R，且{a₁，a₂}具有性質(zhì)P，則a₁a₂＞4
③若a₁，a₂∈N^*，則{a₁，a₂}不可能具有性質(zhì)P；
④當(dāng)n=3時，若a_i∈N^*（i=1，2，3），則具有性質(zhì)P的集合A有且只有一個．
其中正確的結(jié)論是

 

．

Answer 1

考點：集合的表示法,進(jìn)行簡單的合情推理

專題：

分析：根據(jù)已知中性質(zhì)P的定義，結(jié)合韋達(dá)定理及反證法，逐一判斷四個結(jié)論的正誤，進(jìn)而可得答案．

解答： 解：∵

-1+ 5

2

•

-1- 5

2

=

-1+ 5

2

+

-1- 5

2

=-1，故①是正確的；
②不妨設(shè)a₁+a₂=a₁a₂=t，
則由韋達(dá)定理知a₁，a₂是一元二次方程x²-tx+t=0的兩個根，
由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②錯；
③不妨設(shè)A中a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，
由a₁a₂…a_n=a₁+a₂+…+a_n＜na_n，得a₁a₂…a_n-1＜n，當(dāng)n=2時，
即有a₁＜2，
∴a₁=1，于是1+a₂=a₂，a₂無解，即不存在滿足條件的集合A，故③正確．
當(dāng)n=3時，a₁a₂＜3，故只能a₁=1，a₂=2，求得a₃=3，于是具有性質(zhì)P的集合A只有一個，為{1，2，3}．
當(dāng)n≥4時，由a₁a₂…a_n-1≥1×2×3×…×（n-1），即有n＞（n-1）!，
也就是說具有性質(zhì)P的集合A存在的必要條件是n＞（n-1）!，事實上，（n-1）!≥（n-1）（n-2）=n²-3n+2=（n-2）²-2+n＞2，矛盾，
∴當(dāng)n≥4時不存在具有性質(zhì)P的集合A，故④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查的知識點是元素與集合的關(guān)系，正確理解已知中的新定義的含義是解答的關(guān)鍵，難度較大．