Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x-3
（1）當(dāng)a=4，2≤x≤5時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）≤2x-2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x|x-4|+2x-3；再對(duì)x的取值進(jìn)行分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)：①當(dāng)2≤x＜4時(shí)，②當(dāng)4≤x≤5時(shí)，分別求出在各自區(qū)間上的最值，最后綜合得到函數(shù)f（x）的最值．
（2）題目中條件：“x∈[1，2]時(shí)，f（x）≤2x-2恒成立”轉(zhuǎn)化為f（x）=x²-ax≤1恒成立，下面只要利用分離參數(shù)法求出函數(shù)x-

1

x

或x+

1

x

在給定區(qū)間上的最值即得．

解答：解：（1）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x|x-4|+2x-3；
①當(dāng)2≤x＜4時(shí)，f（x）=x（4-x）+2x-3=-x²+6x-3，
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）_min=5；當(dāng)x=3時(shí)，f（x）_max=6               （2分）
②當(dāng)4≤x≤5時(shí)，f（x）=x（x-4）+2x-3=x²-2x-3=（x-1）²-4，
當(dāng)x=4時(shí)，f（x）_min=5；當(dāng)x=5時(shí)，f（x）_max=12               （4分）
綜上可知，函數(shù)f（x）的最大值為12，最小值為5．            （6分）
（2）若x≥a，原不等式化為f（x）=x²-ax≤1，即a≥x-

1

x

在x∈[1，2]上恒成立，
∴a≥（x-

1

x

）_max，即a≥

3

2

．                          （8分）
若x＜a，原不等式化為f（x）=-x²+ax≤1，即a≤x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立，
∴a≤（x-

1

x

）_min，即a≤2．                          （10分）
綜上可知，a的取值范圍為

3

2

≤a≤2．              （12分）
∴f（1）＜m＜f（0），即e＜m＜3．即實(shí)數(shù)m的取值范圍是（e，3）（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題，求不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍，是經(jīng)久不衰的話題，也是高考的熱點(diǎn)，它可以綜合地考查中學(xué)數(shù)學(xué)思想與方法，體現(xiàn)知識(shí)的交匯．