Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，對于任意的p，q∈N⁺，有a_p+q=a_p+a_q，數(shù)列{b_n}滿足：an=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-1

bn

2n+1

，（n∈N^•），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式和數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)Cn=3n+λbn(n∈N•)，是否存在實數(shù)λ，當(dāng)n∈N⁺時，C_n+1＞C_n恒成立，若存在，求實數(shù)λ的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）取p=n，q=1，則a_n+1=a_n+a₁=a_n+2
∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*）
∴{a_n}是公差為2，首項為2的等差數(shù)列
∴a_n=2n
∵an=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-1

bn

2n+1

（n≥1）①
∴an-1=

b1

2+1

-

b2

22+1

+

b3

23+1

-

b4

24+1

+…+(-1)n-2

bn-1

2n-1+1

（n≥2）②
①-②得：(-1)n-1

bn

2n+1

=2（n≥2）b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n≥2）
當(dāng)n=1時，a1=

b1

3

∴b₁=6滿足上式
∴b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）
（2）C_n=3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ
假設(shè)存在λ，使C_n+1＞C_n（n∈N^*）3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）•λ＞3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ[（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）-（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）]•λ＞3ⁿ-3ⁿ⁺¹=-2•3ⁿ（-1）ⁿ（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ
當(dāng)n為正偶函數(shù)時，（3•2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2•3ⁿ恒成立λ＞（-

3n

3•2n+2

）max=（-

1

3•( 2 3 )n+2•( 1 3 )n

）max
當(dāng)n=2時（-

1

3•( 2 3 )n+2•( 1 3 )n

）max=-

9

14

∴λ＞-

9

14

當(dāng)n為正奇數(shù)時，-（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ恒成立
∴λ＜（

3n

3•2n+2

）min=（

1

3•( 2 3 )n+2•( 1 3 )n

）min
當(dāng)n=1時[

1

3•( 2 3 )n+2•( 1 3 )n

]min=

3

8

∴λ＜

3

8

綜上，存在實數(shù)λ，且λ∈（-

9

14

，

3

8

）（16分）