11.函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1.
(1)求證:f(x)是R上的增函數(shù);
(2)若f(2)=3,解不等式f(m-2)<3.

分析 (1)先任取x1<x2,x2-x1>0.由當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1.得到f(x2-x1)>1,再對(duì)f(x2)按照f(a+b)=f(a)+f(b)-1變形得到結(jié)論.
(2)由f(2)=3,再將f(m-2)<3轉(zhuǎn)化為f(m-2)<f(2),由(1)中的結(jié)論,利用單調(diào)性求解.

解答 解:(1)證明:任取x1<x2,
∴x2-x1>0.∴f(x2-x1)>1.
∴f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1)-1>f(x1),
∴f(x)是R上的增函數(shù).
(2)∵f(2)=3.
∴f(m-2)<3=f(2).
又由(1)的結(jié)論知,f(x)是R上的增函數(shù),
m-2<2,m<4
∴解不等式f(m-2)<3的解集為:(-∞,4).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性證明和利用單調(diào)性定義解抽象不等式,利用定義法以及轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題

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(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)若過點(diǎn)N($\frac{1}{2}$,1)的直線l交動(dòng)點(diǎn)M的軌跡于C、D兩點(diǎn),且N為線段CD的中點(diǎn),求直線l的方程.

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16.已知A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}.
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3.已知兩圓的方程分別為x2+y2-4x=0和x2+y2-4y=0,則這兩圓公共弦的長(zhǎng)等于2$\sqrt{2}$.

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20.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,且a1=2,${a_{n+1}}=3{S_n}+2({n∈{N^*}})$,則a5=512.

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17.三個(gè)學(xué)生獨(dú)立的求解同一個(gè)數(shù)學(xué)題,已知三個(gè)學(xué)生各自解出該數(shù)學(xué)題的概率都是$\frac{2}{3}$,且他們能否接觸該題互不影響,
(Ⅰ)求恰有二人解出該題的概率;
(Ⅱ)求能解出該數(shù)學(xué)題的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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